内部統制ブログ(フジタヒロキ)

経営者や内部監査室の方を対象に、効率かつ効果的な内部統制の構築のヒントをお伝えするブログです。

2項分布についての解説

 

コイン投げの試行を行ったとき、試行結果はオモテ面かウラ面のどちらかになる。このように試行結果が 2 種類しか取り得ない試行をベルヌーイ試行と呼びます。
このベルヌーイ試行をn回繰り返したとき、事象A(例えばコインの表が出る)の起こる回数Xの確率分布を二項分布といいます。

計算式とグラフは次の通りです。 

$P(X=k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$

 

縦軸P(X)

f:id:it-audit:20170626010807p:plain横軸X

グラフをwikipediayより引用 作者名 Tayste  File:Binomial distribution pmf.svg

 

内部統制の実施基準に書かれている、「許容誤謬率が9%」を当てはめてみましょう
例えば、ゆがんだコイン(表の出る確率がp=0.09、裏の出る確率がp-1=0.91とする)をn=25回投げた場合に、表がX回出る確率を計算してみます。

 

その確率の計算は本来であれば上記の計算式を使いますが、エクセルの関数で用意されているのでそれを使います。
確率 = BINOM.DIST(成功数,試行回数,成功率,関数形式)

表が出る回数X=0~25の確率をすべて計算してグラフにすると、次の通りです。

f:id:it-audit:20170626011611p:plain横軸X

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グラフを見てわかる通り、表が2回でる確率が一番高いです。これは期待値np=25回×0.09=2.25回からもわかります。

実施基準にはサンプリングリスク10%(90%の信頼度)とすると書かれています。これは、発生する確率が10%未満の事象が生じたら異常ということです。その場合、前提としている、表の出る確率p=0.09が誤っているとみなせます。
例えば実際にコインを25回投げてみて一回も表が出なかった場合、P(X=0)=9.5%の確率の事象が起きてしまったことになりますので、表が出る確率p=9%は誤りとみなせるということになります。(統計の世界では帰無仮説を棄却するといいます)
また、表の出る回数が少ない方向の結果が出ているため、表が出る確率pは9%未満ということになります。

なお、X=24回で計算すると、次の通りです。

 

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表が一回も出ない場合の確率P(X=0)が、0.104となります。これでは10%を超えているため、表が一回も出なかったとしても、表が出る確率p=9%を棄却できません。
表が出る確率p=9%であることが確かめられてしまいますので、n=24回では試行回数が足りないのです。

またn=42回で計算してみましょう。
表が一回も出ない場合の確率P(X=0)が、0.019、1回表が出る確率P(X=1)が0.079、合計して0.098となります。
この場合、0回でなく1回表が出たとしても、サンプリングリスクの10%未満ですので、表が出る確率p=9%を棄却できます。なので、1回表が出ても良いんですね。

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このように、付録2の統計的サンプル数の例示が作成されています。

おわり

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